Задачи повышенной трудности к главе XII. Длина окружности и площадь круга

1279. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что:

Рис. 370

1280. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

Рис. 371

1281. Около правильного пятиугольника А₁А₂А₃А₄А₅ описана окружность с центром О. Вершинами треугольника АВС являются середины сторон А₁А₂, А₂А₃ и А₃А₄ пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О₁ окружности, вписанной в треугольник АВС, симметричны относительно прямой АС.

1282.* В данную окружность впишите правильный десятиугольник.

1283. В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

1284. В данную окружность впишите пятиконечную звезду.

1285. Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.

1286. Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

1287. Пусть ABCD — квадрат, a А₁В₁С₁ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма АВ + А₁В₁ равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.

1288. По данным рисунка 372 докажите, что длина отрезка АС равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.

Рис. 372

1289. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: АЕВ, АКС, CFD, DLB, причём AC = DB. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке EF как на диаметре.

Рис. 373

Постройте границу круга, площадь которого равна:

а) площади кольца между двумя данными концентрическими окружностями;
б) площади данного полукруга;
в) площади данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.

Ответы >>>